7* Найдите высоту прямоугольной трапеции АВСD, если известно, что ее площадь равна 120 мм², меньшее основание ВС – 4 мм, боковая сторона CD – 17 мм, а высота ЕН треугольника CDE рав- на 7-мм. 17

Для решения задачи необходимо найти высоту прямоугольной трапеции ABCD.

Обозначим высоту трапеции как h, а большее основание AD как x. Площадь трапеции можно выразить формулой:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$$

Из условия задачи известны следующие данные:

• Площадь трапеции S = 120 мм²
• Меньшее основание BC = 4 мм
• Боковая сторона CD = 17 мм
• Высота EH треугольника CDE = 7$$\frac{1}{17}$$ мм = $$\frac{120}{17}$$ мм

Сначала найдем длину отрезка DE. Площадь треугольника CDE можно выразить двумя способами:

$$S_{CDE} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot EH$$

Подставим известные значения:

$$\frac{1}{2} \cdot DE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot \frac{120}{17}$$

Сократим и выразим DE:

$$DE \cdot h= 17 \cdot \frac{120}{17}$$

$$DE \cdot h= 120$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDE. По теореме Пифагора:

$$CD^2 = CE^2 + DE^2$$

$$17^2 = CE^2 + DE^2$$ $$289 = CE^2 + DE^2$$

Т.к. CE = h (высота трапеции), получаем:

$$289 = h^2 + DE^2$$

Из выражения для площади треугольника CDE выше получим DE = 120/h

$$289 = h^2 + (120/h)^2$$

$$289 = h^2 + \frac{14400}{h^2}$$

Умножим обе части уравнения на h²:

$$289h^2 = h^4 + 14400$$

$$h^4 - 289h^2 + 14400 = 0$$

Введем замену: y = h²

$$y^2 - 289y + 14400 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно y:

$$D = (-289)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14400 = 83521 - 57600 = 25921$$ $$\sqrt{D} = 161$$ $$y_1 = \frac{289 + 161}{2} = \frac{450}{2} = 225$$ $$y_2 = \frac{289 - 161}{2} = \frac{128}{2} = 64$$

Получаем два возможных значения для h²:

$$h^2 = 225 \Rightarrow h = \sqrt{225} = 15$$ $$h^2 = 64 \Rightarrow h = \sqrt{64} = 8$$

Проверим оба варианта. Если h = 15, то DE = 120/15 = 8. Тогда AD = AE + ED = 4+8 = 12.

$$S = \frac{4 + 12}{2} \cdot 15 = \frac{16}{2} \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120$$

Если h = 8, то DE = 120/8 = 15. Тогда AD = AE + ED = 4+15 = 19.

$$S = \frac{4 + 19}{2} \cdot 8 = \frac{23}{2} \cdot 8 = 23 \cdot 4 = 92$$

Второй вариант не подходит, так как площадь не равна 120.

Таким образом, высота трапеции h = 15 мм.

Ответ: 15