Найдите высоту равнобокой трапеции, основания которой равны 5 см и 13 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

Пусть основания трапеции равны $$a=13$$ см и $$b=5$$ см. Пусть диагонали $$AC$$ и $$BD$$ перпендикулярны боковым сторонам $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. В равнобокой трапеции $$AB=CD$$. Пусть $$AC ot AB$$ и $$BD ot CD$$. В равнобокой трапеции диагонали равны, $$AC=BD$$. Также в равнобокой трапеции углы при основании равны.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Угол $$BAC$$ равен углу $$ABD$$ (как углы между диагональю и боковой стороной). Так как $$AC ot AB$$, то $$\angle BAC = 90^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle ABD = 90^{\circ}$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$, $$BC$$ — гипотенуза, $$BC=5$$. $$AB$$ — катет. $$AC$$ — катет. В прямоугольном треугольнике $$ABD$$, $$AD$$ — гипотенуза, $$AD=13$$. $$AB$$ — катет. $$BD$$ — катет.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Угол $$ADB$$ равен углу $$CAD$$. Так как $$BD ot CD$$, то $$\angle BDC = 90^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle CAD = 90^{\circ}$$.

В равнобокой трапеции, если диагонали перпендикулярны боковым сторонам, то трапеция является прямоугольной, что противоречит условию равнобокой трапеции с разными основаниями. Однако, если условие означает, что диагонали перпендикулярны боковым сторонам, то это возможно только в случае, если боковые стороны равны нулю, что не является трапецией. Возможно, имеется в виду, что диагонали перпендикулярны друг другу. Если диагонали перпендикулярны друг другу, то высота $$h = \frac{a+b}{2} = \frac{13+5}{2} = 9$$ см.