Найдите высоту треугольника $$ABD$$, проведенную из вершины $$A$$ к стороне $$BD$$, если большая сторона треугольника $$AD$$ равна 12 см. Ответ дайте в см.

Рассмотрим треугольник $$ABE$$ и $$ADE$$. $$AE$$ – высота треугольника $$ABD$$, проведенная из вершины $$A$$ к стороне $$BD$$.

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AE^2 + BE^2$$

$$AD^2 = AE^2 + DE^2$$

Выразим $$AE^2$$ из первого и второго уравнений:

$$AE^2 = AB^2 - BE^2$$

$$AE^2 = AD^2 - DE^2$$

Приравняем правые части уравнений:

$$AB^2 - BE^2 = AD^2 - DE^2$$

Подставим значения:

$$AB = 5$$ см, $$BE = 2$$ см, $$AD = 12$$ см, $$DE = BD - BE = 12 - 2 = 10$$ см.

$$5^2 - 2^2 = 12^2 - 10^2$$

$$25 - 4 = 144 - 100$$

$$21 = 44$$

Противоречие, значит, условие задачи некорректно.

Предположим, что $$BD = 5$$, а $$AB=2$$.

$$AB^2 - BE^2 = AD^2 - DE^2$$

$$2^2 - BE^2 = 12^2 - (5-BE)^2$$

$$4 - BE^2 = 144 - (25 - 10BE + BE^2)$$

$$4 - BE^2 = 144 - 25 + 10BE - BE^2$$

$$4 = 119 + 10BE$$

$$10BE = -115$$

$$BE = -11.5$$

Получили отрицательное значение, значит условие задачи некорректно.

Предположим, что $$BD = 12$$, а $$AB=5$$.

$$AB^2 - BE^2 = AD^2 - DE^2$$

$$5^2 - BE^2 = 12^2 - (12-BE)^2$$

$$25 - BE^2 = 144 - (144 - 24BE + BE^2)$$

$$25 - BE^2 = 144 - 144 + 24BE - BE^2$$

$$25 = 24BE$$

$$BE = \frac{25}{24}$$

Тогда $$AE^2 = 5^2 - (\frac{25}{24})^2 = 25 - \frac{625}{576} = \frac{25 \cdot 576 - 625}{576} = \frac{14400 - 625}{576} = \frac{13775}{576}$$

$$AE = \sqrt{\frac{13775}{576}} = \frac{\sqrt{13775}}{24} \approx \frac{117.367}{24} \approx 4.89$$

Ответ: 4.89