Найдите x. На рисунке прямоугольник шириной 18 и высотой x. Внутри расположены две касающиеся друг друга окружности: большая касается левой, правой и нижней сторон прямоугольника; малая касается левой и верхней сторон прямоугольника. Радиус малой окружности равен 4.

Диаметр большой окружности равен ширине прямоугольника: 18. Поэтому её радиус равен 9.

Введём координаты: нижний левый угол прямоугольника — начало отсчёта. Центр большой окружности тогда имеет координаты (9; 9), а центр малой — (4; x − 4).

Окружности касаются внешним образом, поэтому расстояние между их центрами равно сумме радиусов: 9 + 4 = 13.

По теореме Пифагора для разности координат центров:

\( (9-4)^2 + ((x-4)-9)^2 = 13^2 \).

\( 25 + (x-13)^2 = 169 \), откуда \( (x-13)^2 = 144 \), следовательно, \( x-13 = \pm 12 \).

Получаем \(x=25\) или \(x=1\). Значение \(x=1\) невозможно: высота прямоугольника должна быть больше диаметра малой окружности, то есть 8.

Ответ: \(x=25\).