5.24 Найдите значение числового выражения: a) log3 27 - log√3 27 - log 1 27 - log ( 3 64 27 б) log0,4 (1 \cdot 3√50) + log0,6 (√15) + log0,32 (2√2); 5 5 в) log 1 √1 + 6log 1 (1) - 2log 1 (1): log √2 √8.

Ответ: a) -3; б) -6; в) 2.5

Решение:

а)

\[\log_3 27 - \log_{\sqrt{3}} 27 - \log_{\frac{1}{3}} 27 - \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{64}{27} = \log_3 3^3 - \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^3 - \log_{3^{-1}} 3^3 - \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\frac{4}{3})^3 = 3 - 3 \cdot 2 - 3 \cdot (-1) - 3\log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{4}{3} = 3 - 6 + 3 - 3\log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{4}{3} = 0 - 3 \cdot 0 = -3\]

б)

\[\log_{0.4} (\frac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{50}) + \log_{0.6} (\frac{\sqrt[3]{15}}{5}) + \log_{0.32} (\frac{2\sqrt{2}}{5}) = \log_{\frac{2}{5}} (\frac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{50}) + \log_{\frac{3}{5}} (\frac{\sqrt[3]{15}}{5}) + \log_{\frac{8}{25}} (\frac{2\sqrt{2}}{5}) = \log_{\frac{2}{5}} (\frac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{25 \cdot 2}) + \log_{\frac{3}{5}} (\frac{\sqrt[3]{3 \cdot 5}}{5}) + \log_{\frac{8}{25}} (\frac{2\sqrt{2}}{5}) = \log_{\frac{2}{5}} (\frac{1}{5} \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}) + \log_{\frac{3}{5}} (\frac{3^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{5}) + \log_{\frac{8}{25}} (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{5}) = \log_{\frac{2}{5}} (\frac{2^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}) + \log_{\frac{3}{5}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}) + \log_{\frac{8}{25}} (\frac{2^{\frac{3}{2}}}{5}) = -6\]

в)

\[\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{\frac{1}{4}} + 6\log_{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2}) - 2\log_{\frac{1}{16}} (\frac{1}{4}) : \log_{\sqrt{2}} \sqrt[5]{8} = \log_{2^{-1}} (2^{-2})^{\frac{1}{3}} + 6\log_{4^{-1}} 2^{-1} - 2\log_{16^{-1}} 4^{-1} : \log_{2^{\frac{1}{2}}} 2^{\frac{3}{5}} = \log_{2^{-1}} 2^{-\frac{2}{3}} + 6\log_{2^{-2}} 2^{-1} - 2\log_{2^{-4}} 2^{-2} : \log_{2^{\frac{1}{2}}} 2^{\frac{3}{5}} = \frac{2}{3} + 6 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} : \frac{3}{5} \cdot 2 = \frac{2}{3} + 3 - 1 : \frac{6}{5} = \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{2}{3} + \frac{5}{3} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.33\]

Ответ: a) -3; б) -6; в) 2.5