Найдите значение определённого интеграла. ∫ x(x - 3)² dx =

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Раскрытие скобок и упрощение подынтегрального выражения

\[ \begin{aligned} x(x-3)^2 &= x(x^2 - 6x + 9) \\ &= x^3 - 6x^2 + 9x \end{aligned} \]

2. Шаг 2: Нахождение первообразной

Первообразная функции x³ - 6x² + 9x равна: \[ \int (x^3 - 6x^2 + 9x) dx = \frac{x^4}{4} - 2x^3 + \frac{9x^2}{2} + C \]

3. Шаг 3: Вычисление определенного интеграла

Определенный интеграл вычисляется как разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования: \[ \begin{aligned} \int_{-2}^{3} (x^3 - 6x^2 + 9x) dx &= \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^3 + \frac{9x^2}{2} \right]_{-2}^{3} \\ &= \left( \frac{3^4}{4} - 2(3)^3 + \frac{9(3)^2}{2} \right) - \left( \frac{(-2)^4}{4} - 2(-2)^3 + \frac{9(-2)^2}{2} \right) \\ &= \left( \frac{81}{4} - 54 + \frac{81}{2} \right) - \left( \frac{16}{4} + 16 + \frac{36}{2} \right) \\ &= \left( \frac{81}{4} - \frac{216}{4} + \frac{162}{4} \right) - \left( 4 + 16 + 18 \right) \\ &= \frac{27}{4} - 38 \\ &= \frac{27}{4} - \frac{152}{4} \\ &= -\frac{125}{4} \\ &= -31.25 \end{aligned} \]

Ответ: -31.25