Найдите значение переменной х, при котором сумма дробей равна их произведению. x+1 x-5 и 10 x+5

Пошаговое решение:

Шаг 1: Запишем уравнение, исходя из условия: \[\frac{x+1}{x-5} + \frac{10}{x+5} = \frac{x+1}{x-5} \cdot \frac{10}{x+5}\] Шаг 2: Умножим обе части уравнения на \((x-5)(x+5)\), чтобы избавиться от знаменателей: \[(x+1)(x+5) + 10(x-5) = 10(x+1)\] Шаг 3: Раскроем скобки: \[x^2 + 5x + x + 5 + 10x - 50 = 10x + 10\] Шаг 4: Упростим уравнение: \[x^2 + 6x + 5 + 10x - 50 - 10x - 10 = 0\] \[x^2 + 6x - 55 = 0\] Шаг 5: Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(-55) = 36 + 220 = 256\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{256}}{2(1)} = \frac{-6 + 16}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{256}}{2(1)} = \frac{-6 - 16}{2} = \frac{-22}{2} = -11\] Шаг 6: Проверим корни на допустимость. Знаменатели не должны быть равны нулю. Если \(x = 5\), то \(x - 5 = 0\), что недопустимо. Следовательно, \(x = 5\) не является решением. Если \(x = -11\), то \(x - 5 = -16\) и \(x + 5 = -6\), что допустимо.

Ответ: -11