Найдите значение выражения \[\frac{30-5\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}} \cdot \sqrt{6}.\]

Шаг 1: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение (4 + √6), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: \[\frac{30-5\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}} = \frac{(30-5\sqrt{6})(4+\sqrt{6})}{(4-\sqrt{6})(4+\sqrt{6})}\]

Шаг 2: Раскроем скобки в числителе и знаменателе: \[\frac{30 \cdot 4 + 30\sqrt{6} - 5\sqrt{6} \cdot 4 - 5\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}{4^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{120 + 30\sqrt{6} - 20\sqrt{6} - 5 \cdot 6}{16 - 6}\] \[\frac{120 + 10\sqrt{6} - 30}{10} = \frac{90 + 10\sqrt{6}}{10}\]

Шаг 3: Разделим числитель на знаменатель: \[\frac{90}{10} + \frac{10\sqrt{6}}{10} = 9 + \sqrt{6}\]

Шаг 4: Умножим полученное выражение на √6: \[(9 + \sqrt{6}) \cdot \sqrt{6} = 9\sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 9\sqrt{6} + 6\]