Найдите значение выражения $$\frac{36}{4+\sqrt{7}} + 4\sqrt{7}$$.

Для решения этого выражения, сначала избавимся от иррациональности в знаменателе дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на $$4 - \sqrt{7}$$. $$\frac{36}{4+\sqrt{7}} = \frac{36(4-\sqrt{7})}{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})}$$ Применим формулу разности квадратов: $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$ $$\frac{36(4-\sqrt{7})}{4^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{36(4-\sqrt{7})}{16 - 7} = \frac{36(4-\sqrt{7})}{9}$$ Теперь сократим дробь на 9: $$\frac{36(4-\sqrt{7})}{9} = 4(4-\sqrt{7}) = 16 - 4\sqrt{7}$$ Теперь подставим это обратно в исходное выражение: $$16 - 4\sqrt{7} + 4\sqrt{7}$$ $$4\sqrt{7}$$ и $$-4\sqrt{7}$$ сокращаются, и остается: $$16$$ Ответ: 16