5. Найдите значение выражения: $$(8-2\frac{1}{7} \cdot 3\frac{1}{9}): \frac{44}{81}.$$

Для решения данного выражения, выполним действия по порядку:

1. Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:

   $$2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$$,

   $$3\frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{28}{9}.$$

2. Выполним умножение дробей:

   $$\frac{15}{7} \cdot \frac{28}{9} = \frac{15 \cdot 28}{7 \cdot 9} = \frac{15 \cdot 4}{1 \cdot 9} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3}.$$

3. Представим число 8 как дробь со знаменателем 3:

   $$8 = \frac{8 \cdot 3}{3} = \frac{24}{3}.$$

4. Выполним вычитание дробей в скобках:

   $$\frac{24}{3} - \frac{20}{3} = \frac{24 - 20}{3} = \frac{4}{3}.$$

5. Выполним деление дробей. Деление на дробь эквивалентно умножению на её обратную:

   $$\frac{4}{3} : \frac{44}{81} = \frac{4}{3} \cdot \frac{81}{44} = \frac{4 \cdot 81}{3 \cdot 44} = \frac{1 \cdot 27}{1 \cdot 11} = \frac{27}{11}.$$

6. Представим результат в виде смешанной дроби:

   $$\frac{27}{11} = 2\frac{5}{11}.$$

Ответ: $$2\frac{5}{11}$$.