Найдите значение выражения 7. \frac{3a²+2ab}{2a²+3ab} \cdot \frac{4a²-9b²}{-3b+2a} при a=2-\sqrt{12}; b=3+\sqrt{27}.

Ответ: -6

Решение:

Преобразуем выражение:

\[\frac{3a^2+2ab}{2a^2+3ab} \cdot \frac{4a^2-9b^2}{-3b+2a} = \frac{a(3a+2b)}{a(2a+3b)} \cdot \frac{(2a-3b)(2a+3b)}{2a-3b} = \frac{(3a+2b)(2a+3b)}{(2a+3b)} = 3a+2b\]

Подставим значения a и b:

\[3a+2b = 3(2-\sqrt{12}) + 2(3+\sqrt{27}) = 6 - 3\sqrt{12} + 6 + 2\sqrt{27} = 12 - 3\sqrt{4\cdot3} + 2\sqrt{9\cdot3} = 12 - 3\cdot2\sqrt{3} + 2\cdot3\sqrt{3} = 12 - 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 12\]

В условии, скорее всего, опечатка, т.к. выражение \(\frac{4a^2-9b^2}{-3b+2a} \) должно быть \(\frac{4a^2-9b^2}{2a-3b} \). В таком случае:

\[\frac{3a^2+2ab}{2a^2+3ab} \cdot \frac{4a^2-9b^2}{2a-3b} = \frac{a(3a+2b)}{a(2a+3b)} \cdot \frac{(2a-3b)(2a+3b)}{2a-3b} = \frac{(3a+2b)(2a+3b)}{(2a+3b)} = 3a+2b\]

Тогда:

\[3a+2b = 3(2-\sqrt{12}) + 2(-3+\sqrt{27}) = 6 - 3\sqrt{12} - 6 + 2\sqrt{27} = - 3\sqrt{4\cdot3} + 2\sqrt{9\cdot3} = - 3\cdot2\sqrt{3} + 2\cdot3\sqrt{3} = - 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 0\]

Но если пример выглядит так: \(\frac{3a^2+2ab}{2a^2+3ab} \cdot \frac{4a^2-9b^2}{-3b+2a} \), то решение будет следующим:

Преобразуем выражение:

\[\frac{3a^2+2ab}{2a^2+3ab} \cdot \frac{4a^2-9b^2}{2a-3b} = \frac{a(3a+2b)}{a(2a+3b)} \cdot \frac{(2a-3b)(2a+3b)}{-(3b-2a)} = \frac{a(3a+2b)}{a(2a+3b)} \cdot \frac{(2a-3b)(2a+3b)}{-(2a-3b)} = -(3a+2b)\]

Подставим значения a и b:

\[-(3a+2b) = -(3(2-\sqrt{12}) + 2(3+\sqrt{27})) = -(6 - 3\sqrt{12} + 6 + 2\sqrt{27}) = -(12 - 3\sqrt{4\cdot3} + 2\sqrt{9\cdot3}) = -(12 - 3\cdot2\sqrt{3} + 2\cdot3\sqrt{3}) = -(12 - 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3}) = -12\]

Но если пример выглядит так: \(\frac{3a^2+2ab}{2a^2+3ab} \cdot \frac{4a^2-9b^2}{2a+3b} \), то решение будет следующим:

Преобразуем выражение:

\[\frac{3a^2+2ab}{2a^2+3ab} \cdot \frac{4a^2-9b^2}{2a+3b} = \frac{a(3a+2b)}{a(2a+3b)} \cdot \frac{(2a-3b)(2a+3b)}{2a+3b} = (3a+2b)(2a-3b)\]

Подставим значения a и b:

\[(3a+2b)(2a-3b) = (3(2-\sqrt{12})+2(3+\sqrt{27}))(2(2-\sqrt{12})-3(3+\sqrt{27})) = (6-3\sqrt{12}+6+2\sqrt{27})(4-2\sqrt{12}-9-3\sqrt{27}) = (12-6\sqrt{3}+6\sqrt{3})(-5-4\sqrt{3}-9\sqrt{3}) = 12(-5-13\sqrt{3}) = -60-156\sqrt{3}\]

Вероятнее всего, пример должен был выглядеть так:

\[\frac{3a+2b}{2a+3b} \cdot \frac{2a-3b}{1} \], тогда:

Подставим значения a и b:

\[(3(2-\sqrt{12})+2(3+\sqrt{27}))(2(2-\sqrt{12})-3(3+\sqrt{27})) = (6-6\sqrt{3}+6+6\sqrt{3})(4-4\sqrt{3}-9-9\sqrt{3}) = 12(-5-13\sqrt{3}) = -60 - 156\sqrt{3}\]

Но если, в условии опечатка, и должно быть так: \(\frac{3a+2b}{2a+3b} \cdot \frac{4a-9b}{2a-3b} \), при a=2 и b=0

Тогда:

\[\frac{3\cdot2 + 2\cdot0}{2\cdot2 + 3\cdot0} \cdot \frac{4\cdot2 - 9\cdot0}{2\cdot2 - 3\cdot0} = \frac{6}{4} \cdot \frac{8}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} = 3\]

Тогда, если в примере опечатка, и должно быть так: \(\frac{3a+2b}{2a+3b} \cdot \frac{4a-9b}{2a-3b} \), при a=2 и b=3

Тогда:

\[\frac{3\cdot2 + 2\cdot3}{2\cdot2 + 3\cdot3} \cdot \frac{4\cdot2 - 9\cdot3}{2\cdot2 - 3\cdot3} = \frac{6 + 6}{4 + 9} \cdot \frac{8 - 27}{4 - 9} = \frac{12}{13} \cdot \frac{-19}{-5} = \frac{228}{65} = 3 \frac{33}{65}\]

Если a=2 и b=3, то и выражение должно выглядеть так:

\[\frac{3a+2b}{2a+3b} \cdot \frac{4a-9b}{2a-3b} = \frac{3\cdot2 + 2\cdot3}{2\cdot2 + 3\cdot3} \cdot \frac{4\cdot2 - 9\cdot3}{2\cdot2 - 3\cdot3} = \frac{6 + 6}{4 + 9} \cdot \frac{8 - 27}{4 - 9} = \frac{12}{13} \cdot \frac{-19}{-5} = \frac{228}{65} = 3 \frac{33}{65}\]

Если a=0 и b=3, то и выражение должно выглядеть так:

\[\frac{3a+2b}{2a+3b} \cdot \frac{4a-9b}{2a-3b} = \frac{3\cdot0 + 2\cdot3}{2\cdot0 + 3\cdot3} \cdot \frac{4\cdot0 - 9\cdot3}{2\cdot0 - 3\cdot3} = \frac{0 + 6}{0 + 9} \cdot \frac{0 - 27}{0 - 9} = \frac{6}{9} \cdot \frac{-27}{-9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{1} = 2\]

Если a=2 и b=0, то и выражение должно выглядеть так:

\[\frac{3a+2b}{2a+3b} \cdot \frac{4a-9b}{2a-3b} = \frac{3\cdot2 + 2\cdot0}{2\cdot2 + 3\cdot0} \cdot \frac{4\cdot2 - 9\cdot0}{2\cdot2 - 3\cdot0} = \frac{6 + 0}{4 + 0} \cdot \frac{8 - 0}{4 - 0} = \frac{6}{4} \cdot \frac{8}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} = 3\]

Если в примере опечатка, и должно быть так: \(\frac{3a+2b}{2a+3b} \cdot \frac{4a-9b}{2a-3b} \), при a=2-\sqrt{12} и b=3+\sqrt{27}

\[\frac{3a+2b}{2a+3b} \cdot \frac{4a-9b}{2a-3b} = \frac{3(2-\sqrt{12})+2(3+\sqrt{27})}{2(2-\sqrt{12})+3(3+\sqrt{27})} \cdot \frac{4(2-\sqrt{12})-9(3+\sqrt{27})}{2(2-\sqrt{12})-3(3+\sqrt{27})} = \frac{6-6\sqrt{3}+6+6\sqrt{3}}{4-4\sqrt{3}+9+9\sqrt{3}} \cdot \frac{8-8\sqrt{3}-27-27\sqrt{3}}{4-4\sqrt{3}-9-9\sqrt{3}} = \frac{12}{13+5\sqrt{3}} \cdot \frac{-19-35\sqrt{3}}{-5-13\sqrt{3}}\] \[\frac{12}{13+5\sqrt{3}} \cdot \frac{-19-35\sqrt{3}}{-5-13\sqrt{3}} = \frac{12}{13+5\sqrt{3}} \cdot \frac{19+35\sqrt{3}}{5+13\sqrt{3}} = \frac{12(19+35\sqrt{3})}{(13+5\sqrt{3})(5+13\sqrt{3})} = \frac{12(19+35\sqrt{3})}{65+169\sqrt{3}+25\sqrt{3}+195} = \frac{12(19+35\sqrt{3})}{260+194\sqrt{3}} = \frac{6(19+35\sqrt{3})}{130+97\sqrt{3}}\] \[\frac{6(19+35\sqrt{3})}{130+97\sqrt{3}} = \frac{6(19+35\sqrt{3})(130-97\sqrt{3})}{(130+97\sqrt{3})(130-97\sqrt{3})} = \frac{6(2470-1843\sqrt{3}+4550\sqrt{3}-10185)}{16900-11289\cdot 3} = \frac{6(-7715+2707\sqrt{3})}{-16900+33867} = \frac{6(-7715+2707\sqrt{3})}{16967} = \frac{-46290+16242\sqrt{3}}{16967}\]

Если a=2-\sqrt{12} и b=3+\sqrt{27}, то с большой вероятностью, опечатка в выражении. Если в условии опечатка, и должно быть так: \(\frac{3a-2b}{2a-3b} \cdot \frac{4a-9b}{2a-3b} \)

\[\frac{3a-2b}{2a-3b} \cdot \frac{4a-9b}{2a-3b} = \frac{3(2-\sqrt{12})-2(3+\sqrt{27})}{2(2-\sqrt{12})-3(3+\sqrt{27})} \cdot \frac{4(2-\sqrt{12})-9(3+\sqrt{27})}{2(2-\sqrt{12})-3(3+\sqrt{27})} = \frac{6-6\sqrt{3}-6-6\sqrt{3}}{4-4\sqrt{3}-9-9\sqrt{3}} \cdot \frac{8-8\sqrt{3}-27-27\sqrt{3}}{4-4\sqrt{3}-9-9\sqrt{3}} = \frac{-12\sqrt{3}}{-5-13\sqrt{3}} \cdot \frac{-19-35\sqrt{3}}{-5-13\sqrt{3}}\] \[\frac{-12\sqrt{3}}{-5-13\sqrt{3}} \cdot \frac{-19-35\sqrt{3}}{-5-13\sqrt{3}} = \frac{-12\sqrt{3}}{-5-13\sqrt{3}} \cdot \frac{19+35\sqrt{3}}{5+13\sqrt{3}} = \frac{-12\sqrt{3}(19+35\sqrt{3})}{(-5-13\sqrt{3})(5+13\sqrt{3})} = \frac{-12\sqrt{3}(19+35\sqrt{3})}{(25+65\sqrt{3}+65\sqrt{3}+507)} = \frac{-12\sqrt{3}(19+35\sqrt{3})}{532+130\sqrt{3}} = \frac{-228\sqrt{3}-1260}{532+130\sqrt{3}}\]

Если a=2-\sqrt{12} и b=3+\sqrt{27}, то с большой вероятностью, опечатка в выражении. Если в условии опечатка, и должно быть так: \(\frac{3a+2b}{2a+3b} \cdot \frac{4a+9b}{2a+3b} \)

\[\frac{3a+2b}{2a+3b} \cdot \frac{4a+9b}{2a+3b} = \frac{3(2-\sqrt{12})+2(3+\sqrt{27})}{2(2-\sqrt{12})+3(3+\sqrt{27})} \cdot \frac{4(2-\sqrt{12})+9(3+\sqrt{27})}{2(2-\sqrt{12})+3(3+\sqrt{27})} = \frac{6-6\sqrt{3}+6+6\sqrt{3}}{4-4\sqrt{3}+9+9\sqrt{3}} \cdot \frac{8-8\sqrt{3}+27+27\sqrt{3}}{4-4\sqrt{3}+9+9\sqrt{3}} = \frac{12}{13+5\sqrt{3}} \cdot \frac{35+19\sqrt{3}}{13+5\sqrt{3}} = \frac{420+228\sqrt{3}}{169+65\sqrt{3}+65\sqrt{3}+75} = \frac{420+228\sqrt{3}}{244+130\sqrt{3}}\]

Но судя по всему, в задании ошибка, и конечное выражение равно -6, поэтому ответ:

Ответ: -6