5. Найдите значение выражения: \frac{a +3}{a^2+3a+9} - \frac{1}{a-3} + \frac{a^3+3a-9}{a^3-27}.

Здравствуйте! Давайте решим это выражение вместе.

Для начала упростим выражение, используя формулу разности кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). В нашем случае a³ - 27 = a³ - 3³.

Итак, знаменатель третьей дроби можно представить как (a - 3)(a² + 3a + 9).

Теперь приведём дроби к общему знаменателю, который будет (a - 3)(a² + 3a + 9):

\[\frac{(a + 3)(a - 3)}{(a^2 + 3a + 9)(a - 3)} - \frac{a^2 + 3a + 9}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)} + \frac{a^3 + 3a - 9}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)} \]

Раскроем скобки в числителе первой дроби:

\[\frac{a^2 - 9}{(a^2 + 3a + 9)(a - 3)} - \frac{a^2 + 3a + 9}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)} + \frac{a^3 + 3a - 9}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)} \]

Теперь объединим все дроби под одним знаменателем:

\[\frac{a^2 - 9 - (a^2 + 3a + 9) + a^3 + 3a - 9}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[\frac{a^2 - 9 - a^2 - 3a - 9 + a^3 + 3a - 9}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)} \]

Приведём подобные слагаемые в числителе:

\[\frac{a^3 - 27}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)} \]

Заметим, что числитель можно представить как разность кубов: a³ - 27 = (a - 3)(a² + 3a + 9).

Тогда:

\[\frac{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)} \]

Сокращаем дробь:

\[1\]

Ответ: 1