Найдите значение выражения \(\frac{(3-\sqrt{2})^2-11}{10\sqrt{2}}\).

Ответ: -\(\frac{\sqrt{2}}{5}\)

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Раскрываем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности: \[(3 - \sqrt{2})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2}\]
• Шаг 2: Подставляем полученное выражение в исходную дробь: \[\frac{(3-\sqrt{2})^2-11}{10\sqrt{2}} = \frac{11 - 6\sqrt{2} - 11}{10\sqrt{2}} = \frac{-6\sqrt{2}}{10\sqrt{2}}\]
• Шаг 3: Сокращаем дробь: \[\frac{-6\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}\]
• Шаг 4: Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:\[-\frac{3}{5} = -\frac{3\sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = -\frac{3\sqrt{2}}{10}\]
• Шаг 5: Избавимся от иррациональности в знаменателе:\[-\frac{3}{5} = -\frac{3 \cdot \sqrt{2}}{5 \cdot \sqrt{2}} = -\frac{3 \sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}} = -\frac{3 \sqrt{2}}{10}\]

Ответ: -\(\frac{3\sqrt{2}}{10}\)