Найдите значение выражения \(\frac{5}{\sqrt{6}-1} - \sqrt{6}\).

Ответ: \( \sqrt{6} + 1 \)

Решение:

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к \(\sqrt{6} - 1\), то есть на \(\sqrt{6} + 1\):

\[\frac{5}{\sqrt{6} - 1} = \frac{5(\sqrt{6} + 1)}{(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1)}\]

Раскроем скобки в знаменателе, используя формулу разности квадратов: (a - b)(a + b) = a^2 - b^2:

\[(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} + 1) = (\sqrt{6})^2 - 1^2 = 6 - 1 = 5\]

Теперь подставим это в нашу дробь:

\[\frac{5(\sqrt{6} + 1)}{5} = \sqrt{6} + 1\]

Теперь вычтем \(\sqrt{6}\) из полученного выражения:

\[(\sqrt{6} + 1) - \sqrt{6} = 1\]

Таким образом, значение выражения равно 1.

Ответ: \( \sqrt{6} + 1 \)