30. Найдите значение выражения \(\frac{52}{4 + \sqrt{3}} + 4\sqrt{3}\).

Решим данное выражение в несколько этапов:

1. Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(4 - \sqrt{3}\):

$$ \frac{52}{4 + \sqrt{3}} = \frac{52(4 - \sqrt{3})}{(4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3})} $$

2. Раскроем скобки в знаменателе, используя формулу разности квадратов:

$$(4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 16 - 3 = 13$$

3. Подставим полученное значение в выражение:

$$ \frac{52(4 - \sqrt{3})}{13} $$

4. Сократим дробь, разделив 52 на 13:

$$ \frac{52}{13} = 4 $$

5. Получим:

$$ 4(4 - \sqrt{3}) = 16 - 4\sqrt{3} $$

6. Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$$ \frac{52}{4 + \sqrt{3}} + 4\sqrt{3} = 16 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} $$

7. Сократим подобные слагаемые:

$$ 16 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 16 $$

Ответ: 16