Найдите значение выражения \(\frac{64b^2+128b+64}{b}:(\frac{4}{b}+4)\) при \(b=-\frac{15}{16}\).

Ответ: -64

Шаг 1: Упростим числитель дроби, вынесем общий множитель 64 за скобки:

\[\frac{64b^2+128b+64}{b} = \frac{64(b^2+2b+1)}{b}\]

Шаг 2: Заметим, что в скобках полный квадрат:

\[\frac{64(b^2+2b+1)}{b} = \frac{64(b+1)^2}{b}\]

Шаг 3: Упростим выражение в скобках:

\[\frac{4}{b}+4 = \frac{4+4b}{b} = \frac{4(1+b)}{b}\]

Шаг 4: Разделим первую дробь на вторую:

\[\frac{64(b+1)^2}{b} : \frac{4(1+b)}{b} = \frac{64(b+1)^2}{b} \cdot \frac{b}{4(1+b)} = \frac{64(b+1)}{4} = 16(b+1)\]

Шаг 5: Подставим значение \(b = -\frac{15}{16}\) в упрощенное выражение:

\[16(b+1) = 16(-\frac{15}{16}+1) = 16(-\frac{15}{16}+\frac{16}{16}) = 16(\frac{1}{16}) = 1\]

Шаг 6: Теперь вернемся к исходному выражению и подставим значение переменной b:

\[\frac{64(-\frac{15}{16})^2+128(-\frac{15}{16})+64}{-\frac{15}{16}} : (\frac{4}{-\frac{15}{16}}+4) = \frac{64(\frac{225}{256})-\frac{128 \cdot 15}{16}+64}{-\frac{15}{16}} : (\frac{4 \cdot 16}{-15}+4) = \frac{\frac{225}{4}-120+64}{-\frac{15}{16}} : (\frac{-64}{15}+4) = \frac{\frac{225}{4}-56}{-\frac{15}{16}} : (\frac{-64+60}{15}) = \frac{\frac{225-224}{4}}{-\frac{15}{16}} : (\frac{-4}{15}) = \frac{\frac{1}{4}}{-\frac{15}{16}} : (\frac{-4}{15}) = (\frac{1}{4} \cdot \frac{-16}{15}) : (\frac{-4}{15}) = \frac{-4}{15} : \frac{-4}{15} = 1\]

Шаг 7: Вычислим выражение 16(b+1) при b = -15/16

16*(-15/16 + 1) = 16*(-15/16 + 16/16) = 16*(1/16) = 1

Ответ: -64