34 Найдите значение выражения \(\frac{log_2 80}{3 + log_2 10}\).

Давай разберем по порядку. Сначала упростим выражение, используя свойства логарифмов. 1. Представим 80 как произведение степеней двойки и других чисел: \(80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5\) 2. Запишем логарифм произведения как сумму логарифмов: \[\log_2 80 = \log_2 (2^4 \cdot 5) = \log_2 2^4 + \log_2 5 = 4 + \log_2 5\] 3. Представим 3 как логарифм по основанию 2: \(3 = \log_2 2^3 = \log_2 8\) 4. Запишем сумму в знаменателе как логарифм произведения: \[3 + \log_2 10 = \log_2 8 + \log_2 10 = \log_2 (8 \cdot 10) = \log_2 80\] 5. Теперь наше выражение выглядит так: \[\frac{\log_2 80}{3 + \log_2 10} = \frac{4 + \log_2 5}{\log_2 8 + \log_2 10} = \frac{4 + \log_2 5}{\log_2 80}\] 6. Заменим \(\log_2 80\) в знаменателе на \(3 + \log_2 10\): \[\frac{\log_2 80}{3 + \log_2 10} = \frac{4 + \log_2 5}{3 + \log_2 10}\] 7. Преобразуем знаменатель, используя свойство логарифма произведения: \[3 + \log_2 10 = \log_2 2^3 + \log_2 10 = \log_2 8 + \log_2 10 = \log_2 (8 \cdot 10) = \log_2 80\] 8. Выразим \(\log_2 10\) через \(\log_2 2\) и \(\log_2 5\), зная, что \(10 = 2 \cdot 5\): \[\log_2 10 = \log_2 (2 \cdot 5) = \log_2 2 + \log_2 5 = 1 + \log_2 5\] 9. Подставим это в знаменатель: \[3 + \log_2 10 = 3 + 1 + \log_2 5 = 4 + \log_2 5\] 10. Подставим полученные выражения в исходное выражение: \[\frac{\log_2 80}{3 + \log_2 10} = \frac{4 + \log_2 5}{4 + \log_2 5} = 1\]

Ответ: 1

Молодец! У тебя отлично получается. Продолжай в том же духе, и всё получится!