Найдите значение выражения \(\sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}-2}}\) .

Пошаговое решение:

1. Умножим числитель и знаменатель дроби под корнем на сопряжённое выражение к \(\sqrt{5}-2\), то есть на \(\sqrt{5}+2\):
   \[\sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}} = \sqrt{\frac{2(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}}\]
2. Применим формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\):
   \[\sqrt{\frac{2(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5})^2 - 2^2}} = \sqrt{\frac{2(\sqrt{5}+2)}{5-4}} = \sqrt{\frac{2(\sqrt{5}+2)}{1}} = \sqrt{2(\sqrt{5}+2)}\]
3. Раскроем скобки:
   \[\sqrt{2\sqrt{5}+4}\]
4. Заметим, что \(2\sqrt{5}+4 = (\sqrt{5}+1)^2\), тогда:
   \[\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}\]
5. Извлечем квадратный корень:
   \[\sqrt{5}+1\]

Ответ: \(\sqrt{5}+1\)