Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Найдите значение выражения \(\sqrt{\frac{23-24\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}}\cdot\sqrt{2}\).
Ответ:
Краткое пояснение: Упростим выражение под корнем, выделив полный квадрат в числителе и избавившись от иррациональности в знаменателе.
Пошаговое решение:
- Преобразуем числитель под корнем:
\[23 - 24\sqrt{2} = 9 - 2 \cdot 3 \cdot 4\sqrt{2} + 32 = (3 - 4\sqrt{2})^2\] - Преобразуем исходное выражение:
\[\sqrt{\frac{23-24\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{\frac{(3-4\sqrt{2})^2}{1-\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2}\] - Извлечём квадратный корень из числителя:
\[\sqrt{\frac{(3-4\sqrt{2})^2}{1-\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{\frac{(4\sqrt{2}-3)^2}{1-\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}-3}{\sqrt{1-\sqrt{2}}}} \cdot \sqrt{2}\] - Избавимся от иррациональности в знаменателе:
\[\frac{4\sqrt{2}-3}{\sqrt{1-\sqrt{2}}}} \cdot \sqrt{2} = \frac{(4\sqrt{2}-3)\sqrt{2}}{\sqrt{1-\sqrt{2}}}} = \frac{8 - 3\sqrt{2}}{\sqrt{1-\sqrt{2}}}\]. Домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{1+\sqrt{2}}\):
\[\frac{(8 - 3\sqrt{2})}{\sqrt{1-\sqrt{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{1+\sqrt{2}}}{\sqrt{1+\sqrt{2}}}} = \frac{(8 - 3\sqrt{2}) \sqrt{1+\sqrt{2}}}{\sqrt{1-2}} = \frac{(8 - 3\sqrt{2}) \sqrt{1+\sqrt{2}}}{i}\] - Вычислим: \[ \sqrt{\frac{(4\sqrt{2}-3)^2}{1-\sqrt{2}}}\cdot\sqrt{2} = \frac{(4\sqrt{2}-3)\sqrt{2}}{\sqrt{1-\sqrt{2}}}} = \frac{(8-3\sqrt{2})}{\sqrt{1-\sqrt{2}}}\) Домножим на сопряжённое выражение, чтобы избавиться от иррациональности: \(\frac{(8-3\sqrt{2})}{\sqrt{1-\sqrt{2}}}\cdot \frac{\sqrt{1+\sqrt{2}}}{\sqrt{1+\sqrt{2}}}} = \frac{(8-3\sqrt{2})\sqrt{1+\sqrt{2}} \cdot i}{1}\)
Ответ: Нет решения в вещественных числах.
