Найдите значение выражения \(\sqrt{6\sqrt{5} + 14 - \sqrt{5}}\).

Для начала упростим выражение под корнем:

\[\sqrt{6\sqrt{5} + 14 - \sqrt{5}} = \sqrt{5\sqrt{5} + 14}\]

Заметим, что \(14 + 5\sqrt{5}\) можно представить как полный квадрат:

\[14 + 5\sqrt{5} = \frac{28 + 10\sqrt{5}}{2} = \frac{25 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{5} + 5}{2} = \frac{(5 + \sqrt{5})^2}{2}\]

Однако это не упрощает выражение. Попробуем иначе представить выражение под корнем, чтобы увидеть полный квадрат:

\[6\sqrt{5} + 14 = (a + b\sqrt{5})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{5} + 5b^2\]

Тогда:

• \(a^2 + 5b^2 = 14\)
• \(2ab = 6\), то есть \(ab = 3\)

Выразим \(b\) через \(a\): \(b = \frac{3}{a}\). Подставим в первое уравнение:

\[a^2 + 5\left(\frac{3}{a}\right)^2 = 14\]

\[a^2 + \frac{45}{a^2} = 14\]

\[a^4 + 45 = 14a^2\]

\[a^4 - 14a^2 + 45 = 0\]

Пусть \(t = a^2\), тогда:

\[t^2 - 14t + 45 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно \(t\):

\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 196 - 180 = 16\]

\[t_1 = \frac{14 + \sqrt{16}}{2} = \frac{14 + 4}{2} = 9\]

\[t_2 = \frac{14 - \sqrt{16}}{2} = \frac{14 - 4}{2} = 5\]

Тогда:

• \(a^2 = 9\), \(a = 3\). Тогда \(b = \frac{3}{3} = 1\).
• \(a^2 = 5\), \(a = \sqrt{5}\). Тогда \(b = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}\).

Таким образом, \(6\sqrt{5} + 14 = (3 + \sqrt{5})^2\). Тогда:

\[\sqrt{6\sqrt{5} + 14} - \sqrt{5} = \sqrt{(3 + \sqrt{5})^2} - \sqrt{5} = 3 + \sqrt{5} - \sqrt{5} = 3\]