2. Найдите значение выражения: 1) (2\frac{2}{3})^{8} \cdot (\frac{3}{8})^{6}; 2) \frac{3^{16} \cdot 2^{10}}{54^{5}}.

1) (2\frac{2}{3})^{8} \cdot (\frac{3}{8})^{6}

Преобразуем смешанную дробь в неправильную:

\[2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}\]

Тогда выражение примет вид:

\[(\frac{8}{3})^{8} \cdot (\frac{3}{8})^{6}\]

Разделим степени:

\[\frac{8^{8}}{3^{8}} \cdot \frac{3^{6}}{8^{6}} = \frac{8^{8} \cdot 3^{6}}{3^{8} \cdot 8^{6}} = 8^{8-6} \cdot 3^{6-8} = 8^{2} \cdot 3^{-2} = \frac{8^{2}}{3^{2}} = \frac{64}{9}\]

Выделим целую часть:

\[\frac{64}{9} = 7\frac{1}{9}\]

2) \frac{3^{16} \cdot 2^{10}}{54^{5}}

Разложим 54 на простые множители:

\[54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^{3}\]

Тогда:

\[54^{5} = (2 \cdot 3^{3})^{5} = 2^{5} \cdot 3^{15}\]

Выражение примет вид:

\[\frac{3^{16} \cdot 2^{10}}{2^{5} \cdot 3^{15}} = 3^{16-15} \cdot 2^{10-5} = 3^{1} \cdot 2^{5} = 3 \cdot 32 = 96\]