Найдите значение выражения: $$1\frac{9}{13} \cdot (\frac{5}{6} - \frac{1}{9}) - 10 : 1\frac{1}{4}$$.

Для решения данного выражения, выполним действия по порядку:

1. Сначала вычислим разность в скобках:

$$\frac{5}{6} - \frac{1}{9} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{15}{18} - \frac{2}{18} = \frac{13}{18}$$

2. Преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$$1\frac{9}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 9}{13} = \frac{22}{13}$$

$$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$$

3. Выполним умножение:

$$\frac{22}{13} \cdot \frac{13}{18} = \frac{22 \cdot 13}{13 \cdot 18} = \frac{22}{18} = \frac{11}{9}$$

4. Выполним деление:

$$10 : \frac{5}{4} = 10 \cdot \frac{4}{5} = \frac{10 \cdot 4}{5} = \frac{40}{5} = 8$$

5. Выполним вычитание:

$$\frac{11}{9} - 8 = \frac{11}{9} - \frac{8 \cdot 9}{9} = \frac{11}{9} - \frac{72}{9} = \frac{11 - 72}{9} = \frac{-61}{9} = -6\frac{7}{9}$$

Ответ: $$-6\frac{7}{9}$$