8. Найдите значение выражения (\frac{2b}{5a} - \frac{5a}{2b}) \cdot \frac{1}{2b+5a} при a= \frac{1}{5}, b = \frac{1}{9}

Давайте разберем по порядку. Нам нужно найти значение выражения при заданных значениях a и b.

Сначала упростим выражение:

\[(\frac{2b}{5a} - \frac{5a}{2b}) \cdot \frac{1}{2b+5a}\]

Приведем первую скобку к общему знаменателю:

\[\frac{(2b)^2 - (5a)^2}{5a \cdot 2b} \cdot \frac{1}{2b+5a} = \frac{4b^2 - 25a^2}{10ab} \cdot \frac{1}{2b+5a}\]

Заметим, что в числителе разность квадратов:

\[\frac{(2b - 5a)(2b + 5a)}{10ab} \cdot \frac{1}{2b+5a}\]

Сократим (2b + 5a):

\[\frac{2b - 5a}{10ab}\]

Теперь подставим значения a = \frac{1}{5} и b = \frac{1}{9}:

\[\frac{2(\frac{1}{9}) - 5(\frac{1}{5})}{10(\frac{1}{5})(\frac{1}{9})} = \frac{\frac{2}{9} - 1}{\frac{10}{45}} = \frac{\frac{2-9}{9}}{\frac{2}{9}} = \frac{-\frac{7}{9}}{\frac{2}{9}} = -\frac{7}{9} \cdot \frac{9}{2} = -\frac{7}{2}\]

Итак, значение выражения равно -\frac{7}{2} или -3.5.

Ответ: -3.5