Найдите значение выражения (\frac{-1}{5m} - \frac{1}{3n}) : (\frac{m}{3} - \frac{n}{5}), если m = \frac{1}{\sqrt{3}}, n = \sqrt{75}.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упростим выражение в скобках:
   \[\frac{-1}{5m} - \frac{1}{3n} = \frac{-3n - 5m}{15mn}\]
   \[\frac{m}{3} - \frac{n}{5} = \frac{5m - 3n}{15}\]
2. Шаг 2: Разделим первую скобку на вторую:
   \[(\frac{-3n - 5m}{15mn}) : (\frac{5m - 3n}{15}) = (\frac{-3n - 5m}{15mn}) \cdot (\frac{15}{5m - 3n}) = \frac{-(3n + 5m)}{mn(5m - 3n)}\]
3. Шаг 3: Подставим значения m и n:
   \[m = \frac{1}{\sqrt{3}}\]
   \[n = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\]
   \[5m = \frac{5}{\sqrt{3}}\]
   \[3n = 3 \cdot 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3}\]
4. Шаг 4: Вычислим выражение:
   \[\frac{-(15\sqrt{3} + \frac{5}{\sqrt{3}})}{\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 5\sqrt{3} (\frac{5}{\sqrt{3}} - 15\sqrt{3})} = \frac{-(15\sqrt{3} + \frac{5}{\sqrt{3}})}{5 (\frac{5}{\sqrt{3}} - 15\sqrt{3})}\]
   \[= \frac{-(15\sqrt{3} + \frac{5}{\sqrt{3}})}{5 (\frac{5 - 45}{\sqrt{3}})} = \frac{-(15\sqrt{3} + \frac{5}{\sqrt{3}})}{5 (\frac{-40}{\sqrt{3}})} = \frac{-(15\sqrt{3} + \frac{5}{\sqrt{3}})}{\frac{-200}{\sqrt{3}}}\]
   \[= \frac{-(\frac{45 + 5}{\sqrt{3}})}{\frac{-200}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{-50}{\sqrt{3}}}{\frac{-200}{\sqrt{3}}} = \frac{-50}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{-200} = \frac{50}{200} = \frac{1}{4}\]

Ответ: \(\frac{1}{4}\)