Найдите значение выражения (\frac{1}{4r} + \frac{1}{9f}): \frac{4r+9f}{16r^2} при r = \sqrt{171}, f = \sqrt{19}.

Решение:

1. Шаг 1: Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю: \[\frac{1}{4r} + \frac{1}{9f} = \frac{9f + 4r}{36rf}\]
2. Шаг 2: Запишем деление как умножение на перевернутую дробь: \[\frac{9f + 4r}{36rf} : \frac{4r+9f}{16r^2} = \frac{9f + 4r}{36rf} \cdot \frac{16r^2}{4r+9f}\]
3. Шаг 3: Сократим выражение: \[\frac{9f + 4r}{36rf} \cdot \frac{16r^2}{4r+9f} = \frac{16r^2}{36rf} = \frac{4r}{9f}\]
4. Шаг 4: Подставим значения \( r = \sqrt{171} \) и \( f = \sqrt{19} \): \[\frac{4r}{9f} = \frac{4\sqrt{171}}{9\sqrt{19}}\]
5. Шаг 5: Упростим выражение, учитывая, что \( 171 = 9 \cdot 19 \): \[\frac{4\sqrt{171}}{9\sqrt{19}} = \frac{4\sqrt{9 \cdot 19}}{9\sqrt{19}} = \frac{4 \cdot 3\sqrt{19}}{9\sqrt{19}} = \frac{12\sqrt{19}}{9\sqrt{19}}\]
6. Шаг 6: Сократим дробь: \[\frac{12\sqrt{19}}{9\sqrt{19}} = \frac{4}{3}\]

Ответ: \(\frac{4}{3}\)