1.1.84. Найдите значение выражения $$5\sqrt{2} \sin{\frac{\pi}{8}} \cdot \cos{\frac{\pi}{8}}$$.

Для решения данного выражения воспользуемся формулой двойного угла для синуса: $$\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$$. Преобразуем выражение, чтобы применить эту формулу: $$5\sqrt{2} \sin{\frac{\pi}{8}} \cos{\frac{\pi}{8}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot 2 \sin{\frac{\pi}{8}} \cos{\frac{\pi}{8}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \sin{\frac{2\pi}{8}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \sin{\frac{\pi}{4}}$$ Теперь вспомним, что $$\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. Подставим это значение в выражение: $$\frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5 \cdot 2}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$$ Ответ: 2.5