Найдите значение выражения \(\frac{6}{3 + \sqrt{7}} + 3\sqrt{7}\).

Пошаговое решение:

1. Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на \(3 - \sqrt{7}\):\[\frac{6}{3 + \sqrt{7}} = \frac{6(3 - \sqrt{7})}{(3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7})} = \frac{6(3 - \sqrt{7})}{3^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{6(3 - \sqrt{7})}{9 - 7} = \frac{6(3 - \sqrt{7})}{2} = 3(3 - \sqrt{7}) = 9 - 3\sqrt{7}.\]
2. Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:\[9 - 3\sqrt{7} + 3\sqrt{7} = 9.\]

Ответ: 9