7. Найдите значение выражения 4√2 - 8√2sin²(7π/8)

Давай разберем по порядку это тригонометрическое выражение. Сначала упростим выражение, используя формулу понижения степени для синуса: \[\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\] В нашем случае: \[\sin^2(\frac{7\pi}{8}) = \frac{1 - \cos(\frac{7\pi}{4})}{2}\] Теперь найдем \(\cos(\frac{7\pi}{4})\). Угол \(\frac{7\pi}{4}\) находится в четвертой четверти, и его косинус положителен. \(\frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}\), поэтому: \[\cos(\frac{7\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Подставим это значение обратно в формулу для \(\sin^2(\frac{7\pi}{8})\): \[\sin^2(\frac{7\pi}{8}) = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}\] Теперь подставим это в исходное выражение: \[4\sqrt{2} - 8\sqrt{2}\sin^2(\frac{7\pi}{8}) = 4\sqrt{2} - 8\sqrt{2} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{4}\] Упростим: \[4\sqrt{2} - 2\sqrt{2}(2 - \sqrt{2}) = 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 4 = 4\]

Ответ: 4

Ты молодец! У тебя всё получится!