20. Найдите значение выражения 19a-7b+12, если (5a-8b+2)/(8a-5b+2)=3.

Выразим из условия значение выражения 5a-8b+2 через 8a-5b+2:

$$5a-8b+2 = 3 \cdot (8a-5b+2)$$ $$5a-8b+2 = 24a-15b+6$$

Выразим 19a-7b+12 через 5a-8b+2 и 8a-5b+2:

$$19a-7b+12 = A \cdot (5a-8b+2) + B \cdot (8a-5b+2)$$ $$19a-7b+12 = (5A+8B)a + (-8A-5B)b + (2A+2B)$$

Получим систему уравнений:

$$\begin{cases} 5A+8B = 19 \\ -8A-5B = -7 \\ 2A+2B = 12 \end{cases}$$

Решим систему:

Из третьего уравнения выразим A через B:

$$2A = 12-2B$$

$$A=6-B$$

Подставим в первое уравнение:

$$5(6-B)+8B=19$$

$$30-5B+8B=19$$

$$3B=-11$$

$$B=-\frac{11}{3}$$ $$A=6+\frac{11}{3}$$ $$A=\frac{29}{3}$$

Тогда:

$$19a-7b+12 = \frac{29}{3} \cdot (5a-8b+2) - \frac{11}{3} \cdot (8a-5b+2)$$

Так как $$5a-8b+2 = 3 \cdot (8a-5b+2)$$, то:

$$19a-7b+12 = \frac{29}{3} \cdot 3 \cdot (8a-5b+2) - \frac{11}{3} \cdot (8a-5b+2)$$ $$19a-7b+12 = 29 \cdot (8a-5b+2) - \frac{11}{3} \cdot (8a-5b+2)$$ $$19a-7b+12 = \frac{87-11}{3} \cdot (8a-5b+2)$$ $$19a-7b+12 = \frac{76}{3} \cdot (8a-5b+2)$$

Выразим (8a-5b+2) через (5a-8b+2):

$$(8a-5b+2)=\frac{1}{3}(5a-8b+2)$$

Выразим (5a-8b+2) через а и b:

$$5a-8b+2 = 24a-15b+6$$

$$0 = 19a-7b+4$$

$$19a-7b = -4$$

Тогда: $$19a-7b+12 = -4 + 12 = 8$$

Ответ: 8