Найдите значение выражения (1/(25b^2) - 1/(49a^2)) : (7a - 5b)/(7a * 5b) при a = 1/7 и b = 1/30

Дано:

• Выражение: \(\left(\frac{1}{25b^2} - \frac{1}{49a^2}\right) : \frac{7a - 5b}{7a \times 5b}\)
• \(a = \frac{1}{7}\)
• \(b = \frac{1}{30}\)

Найти:

• Значение выражения.

Решение:

Сначала преобразуем выражение, а затем подставим значения $$a$$ и $$b$$.

1. Преобразуем первую скобку:
   Приведём к общему знаменателю $$25b^2 \times 49a^2$$.
   \[ \frac{1}{25b^2} - \frac{1}{49a^2} = \frac{49a^2 - 25b^2}{(25b^2)(49a^2)} \]
2. Разложим числитель на множители (разность квадратов):
   \[ 49a^2 - 25b^2 = (7a)^2 - (5b)^2 = (7a - 5b)(7a + 5b) \]
3. С учётом разложения, первая скобка имеет вид:
   \[ \frac{(7a - 5b)(7a + 5b)}{(25b^2)(49a^2)} \]
4. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:
   \[ \frac{(7a - 5b)(7a + 5b)}{(25b^2)(49a^2)} \times \frac{7a \times 5b}{7a - 5b} \]
5. Сократим дробь, убрав одинаковые множители (7a - 5b):
   \[ \frac{(7a + 5b)}{(25b^2)(49a^2)} \times (7a \times 5b) \]
6. Теперь подставим значения $$a = \frac{1}{7}$$ и $$b = \frac{1}{30}$$:
   \(7a = 7 \times \frac{1}{7} = 1\)
   \(5b = 5 \times \frac{1}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}\)
   \[ 7a + 5b = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6} \]
7. Вычислим знаменатель:
   \[ 25b^2 = 25 \times \left(\frac{1}{30}\right)^2 = 25 \times \frac{1}{900} = \frac{25}{900} = \frac{1}{36} \]
   \[ 49a^2 = 49 \times \left(\frac{1}{7}\right)^2 = 49 \times \frac{1}{49} = 1 \]
   \[ (25b^2)(49a^2) = \frac{1}{36} \times 1 = \frac{1}{36} \]
8. Подставим вычисленные значения в упрощённое выражение:
   \[ \frac{\frac{7}{6}}{\frac{1}{36}} \times \left(1 \times \frac{1}{6}\right) = \frac{7}{6} \times 36 \times \frac{1}{6} \]
9. Выполним умножение:
   \[ \frac{7}{6} \times 36 \times \frac{1}{6} = 7 \times 6 \times \frac{1}{6} = 7 \times 1 = 7 \]

Ответ: 7