Найдите значение выражения \(15 \cdot \log_5 \sqrt[5]{5}\).

Решение:

Чтобы найти значение выражения \(15 \cdot \log_5 \sqrt[5]{5}\), воспользуемся свойствами логарифмов и степеней.

1. Преобразуем корень \(\sqrt[5]{5}\) в степень: \(\sqrt[5]{5} = 5^{1/5}\).
2. Подставим это в логарифм: \(\log_5 \sqrt[5]{5} = \log_5 (5^{1/5})\).
3. Используем свойство логарифма \(\log_a (b^c) = c \cdot \log_a b\): \(\log_5 (5^{1/5}) = \frac{1}{5} \cdot \log_5 5\).
4. Так как \(\log_a a = 1\), то \(\log_5 5 = 1\).
5. Таким образом, \(\log_5 (5^{1/5}) = \frac{1}{5} \cdot 1 = \frac{1}{5}\).
6. Теперь умножим полученное значение на 15: \(15 \cdot \frac{1}{5}\).
7. \(15 \cdot \frac{1}{5} = \frac{15}{5} = 3\).

Ответ: 3