Найдите значение выражения: 16^{-5} : (0,5^{-3})^{-6}

Решение:

Нужно упростить выражение, используя свойства степеней.

1. Сначала преобразуем дробь 0,5 в степень: \( 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} \).
2. Подставим это в выражение: \( 16^{-5} : (2^{-1})^{-3} \)^\(-6\)
3. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( (2^{-1})^{-3} = 2^{(-1) \cdot (-3)} = 2^3 \).
4. Теперь выражение выглядит так: \( 16^{-5} : (2^3)^{-6} \).
5. Снова применим свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( (2^3)^{-6} = 2^{3 \cdot (-6)} = 2^{-18} \).
6. Выражение стало: \( 16^{-5} : 2^{-18} \).
7. Представим 16 как степень двойки: \( 16 = 2^4 \).
8. Подставим: \( (2^4)^{-5} : 2^{-18} \).
9. Применим свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( (2^4)^{-5} = 2^{4 \cdot (-5)} = 2^{-20} \).
10. Теперь выражение: \( 2^{-20} : 2^{-18} \).
11. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием \( a^m : a^n = a^{m-n} \): \( 2^{-20} : 2^{-18} = 2^{-20 - (-18)} = 2^{-20 + 18} = 2^{-2} \).
12. Преобразуем результат в дробь: \( 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \).

Ответ: \( \frac{1}{4} \).