Найдите значение выражения $$(2\sqrt{2}-\sqrt{7})^2 + \frac{1}{(2\sqrt{2}-\sqrt{7})^2}$$

Давай разберем это выражение по частям.

1. Первая часть: \( (2\sqrt{2}-\sqrt{7})^2 \)

Это квадрат разности. По формуле \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):

• \( a = 2\sqrt{2} \), значит \( a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8 \)
• \( b = \sqrt{7} \), значит \( b^2 = (\sqrt{7})^2 = 7 \)
• \( 2ab = 2 \times (2\sqrt{2}) \times \sqrt{7} = 4\sqrt{14} \)

Получаем: \( 8 - 4\sqrt{14} + 7 = 15 - 4\sqrt{14} \)

2. Вторая часть: \( \frac{1}{(2\sqrt{2}-\sqrt{7})^2} \)

Мы уже знаем, что \( (2\sqrt{2}-\sqrt{7})^2 = 15 - 4\sqrt{14} \).

Значит, вторая часть равна \( \frac{1}{15 - 4\sqrt{14}} \).

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 15 + 4\sqrt{14} \):

• \( \frac{1}{15 - 4\sqrt{14}} \times \frac{15 + 4\sqrt{14}}{15 + 4\sqrt{14}} = \frac{15 + 4\sqrt{14}}{(15)^2 - (4\sqrt{14})^2} \)
• \( (15)^2 = 225 \)
• \( (4\sqrt{14})^2 = 16 \times 14 = 224 \)

Знаменатель равен \( 225 - 224 = 1 \).

Таким образом, вторая часть равна \( 15 + 4\sqrt{14} \).

3. Складываем обе части:

\( (15 - 4\sqrt{14}) + (15 + 4\sqrt{14}) \)

\( 15 - 4\sqrt{14} + 15 + 4\sqrt{14} = 30 \)

Ответ: 30