Найдите значение выражения (25^3/5 * 5^2/3)^15 / 10^9

Разбираемся с выражением шаг за шагом!

Нам нужно найти значение такого выражения:

\( \frac{(25^{\frac{3}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{3}})^{15}}{10^9} \)

Шаг 1: Упрощаем числитель

Сначала возьмёмся за скобку в числителе:

\( (25^{\frac{3}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{3}})^{15} \)

Вспомним, что \( 25 = 5^2 \). Подставим это:

\( ((5^2)^{\frac{3}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{3}})^{15} \)

При возведении степени в степень, показатели умножаются:

\( (5^{2 \cdot \frac{3}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{3}})^{15} = (5^{\frac{6}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{3}})^{15} \)

Теперь, когда основания одинаковые, складываем показатели степеней:

\( 5^{\frac{6}{5} + \frac{2}{3}} \)

Приведём дроби к общему знаменателю (15):

\( \frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{18}{15} \)

\( \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} \)

Сумма степеней:

\( \frac{18}{15} + \frac{10}{15} = \frac{28}{15} \)

Теперь наша скобка выглядит так:

\( (5^{\frac{28}{15}})^{15} \)

Снова возводим степень в степень:

\( 5^{\frac{28}{15} \cdot 15} = 5^{28} \)

Шаг 2: Работаем с знаменателем

В знаменателе у нас \( 10^9 \). Мы можем представить 10 как \( 2 \cdot 5 \):

\( 10^9 = (2 \cdot 5)^9 = 2^9 \cdot 5^9 \)

Шаг 3: Собираем всё вместе

Теперь наше выражение выглядит так:

\( \frac{5^{28}}{2^9 \cdot 5^9} \)

Упростим дробь, вычитая степени с одинаковым основанием \( 5 \):

\( \frac{5^{28}}{5^9} = 5^{28-9} = 5^{19} \)

Остаётся:

\( \frac{5^{19}}{2^9} \)

По условию задачи, кажется, было допущено небольшое несовпадение в написании, но если предположить, что первая часть выражения была \( (25^3 \cdot 5^2)^{15} \) или \( (25^{\frac{3}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}) \) без возведения в 15 степень, результат был бы проще. Однако, следуя строго условию:

\( \frac{(25^{\frac{3}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{3}})^{15}}{10^9} = \frac{5^{28}}{2^9 \cdot 5^9} = \frac{5^{19}}{2^9} \)

Если условие было \( \frac{(25^{3/5} \cdot 5^{2/3})}{10^9} \), то:

\( \frac{5^{28/15}}{10^9} = \frac{5^{28/15}}{2^9 \cdot 5^9} \)

Если условие было \( \frac{25^{3} \cdot 5^{2}}{10^9} \), то:

\( \frac{(5^2)^3 \cdot 5^2}{10^9} = \frac{5^6 \cdot 5^2}{10^9} = \frac{5^8}{10^9} = \frac{5^8}{(2 \cdot 5)^9} = \frac{5^8}{2^9 \cdot 5^9} = \frac{1}{2^9 \cdot 5} \)

Учитывая формат записи, наиболее вероятен вариант, что степень 15 применяется ко всей скобке.

Финальный ответ, исходя из написанного:

\( \frac{5^{19}}{2^9} \)

Ответ: \( \frac{5^{19}}{2^9} \).