Найдите значение выражения $$-25\sin 2\alpha$$, если $$\sin \alpha = -\frac{3}{5}$$ и $$\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$$.

Привет! Давай разберем эту задачку вместе.

Дано:

• \[ \sin \alpha = -\frac{3}{5} \]
• \[ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \]

Найти:

Значение выражения $$-25\sin 2\alpha$$.

Решение:

Для начала нам нужно найти значение $$\sin 2\alpha$$. Вспомним формулу двойного угла:

• \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]

Мы знаем $$\sin \alpha$$, но нам нужно найти $$\cos \alpha$$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

• \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Подставим известное значение $$\sin \alpha$$:

• \[ \left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]
• \[ \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \]
• \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} \]
• \[ \cos^2 \alpha = \frac{25 - 9}{25} \]
• \[ \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} \]

Теперь найдем $$\cos \alpha$$. Важно учесть, в какой четверти находится угол $$\alpha$$. По условию, \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\). Это третья четверть.

В третьей четверти косинус отрицателен. Значит:

• \[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} \]
• \[ \cos \alpha = -\frac{4}{5} \]

Теперь у нас есть все, чтобы найти $$\sin 2\alpha$$:

• \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]
• \[ \sin 2\alpha = 2 \times \left(-\frac{3}{5}\right) \times \left(-\frac{4}{5}\right) \]
• \[ \sin 2\alpha = 2 \times \frac{12}{25} \]
• \[ \sin 2\alpha = \frac{24}{25} \]

И наконец, найдем значение выражения $$-25\sin 2\alpha$$:

• \[ -25\sin 2\alpha = -25 \times \frac{24}{25} \]
• \[ -25\sin 2\alpha = -24 \]

Ответ: -24