Найдите значение выражения 30ab + (-3a + 5b)^2 при a = √5, b = √3.

Решение:

1. Подставим значения \( a = \sqrt{5} \) и \( b = \sqrt{3} \) в выражение:
• \( 30ab = 30 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = 30 \sqrt{15} \)
• \( (-3a + 5b)^2 = (-3\sqrt{5} + 5\sqrt{3})^2 \)
2. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \):
• \( (-3\sqrt{5} + 5\sqrt{3})^2 = ((-3\sqrt{5}) + (5\sqrt{3}))^2 \)
• \( = (-3\sqrt{5})^2 + 2 \cdot (-3\sqrt{5}) \cdot (5\sqrt{3}) + (5\sqrt{3})^2 \)
• \( = (9 \cdot 5) - (30 \sqrt{15}) + (25 \cdot 3) \)
• \( = 45 - 30 \sqrt{15} + 75 \)
• \( = 120 - 30 \sqrt{15} \)
3. Теперь сложим два полученных значения:
• \( 30ab + (-3a + 5b)^2 = 30\sqrt{15} + (120 - 30\sqrt{15}) \)
• \( = 30\sqrt{15} + 120 - 30\sqrt{15} \)
• \( = 120 \)

Ответ: 120.