Найдите значение выражения \( (36a^2 - \frac{1}{9b^2}) : (\frac{6a}{3b} - \frac{1}{6}) \) при \( a = \frac{5}{6} \) и \( b = -\frac{1}{12} \).

Решение:

1. Упростим выражение:

\( (36a^2 - \frac{1}{9b^2}) : (\frac{6a}{3b} - \frac{1}{6}) = ((6a)^2 - (\frac{1}{3b})^2) : (\frac{2a}{b} - \frac{1}{6}) \)

Применим формулу разности квадратов \( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \):

\( ((6a - \frac{1}{3b})(6a + \frac{1}{3b})) : (\frac{2a}{b} - \frac{1}{6}) \)

Приведём вторую скобку к общему знаменателю:

\( ((6a - \frac{1}{3b})(6a + \frac{1}{3b})) : (\frac{12a - b}{6b}) \)

Преобразуем выражение:

\( \frac{(6a - \frac{1}{3b})(6a + \frac{1}{3b})}{1} \cdot \frac{6b}{12a - b} \)

Заметим, что \( 6a - \frac{1}{3b} = \frac{18ab - 1}{3b} \) и \( 6a + \frac{1}{3b} = \frac{18ab + 1}{3b} \).

Также заметим, что \( 12a - b \) не может быть напрямую связано с \( 6a
\pm \frac{1}{3b} \).

Перепишем выражение:

\( (36a^2 - \frac{1}{9b^2}) \cdot \frac{1}{(\frac{6a}{3b} - \frac{1}{6})} = \frac{36a^2 - \frac{1}{9b^2}}{\frac{2a}{b} - \frac{1}{6}} \)

Приведём числитель и знаменатель к общему знаменателю:

Числитель: \( \frac{36a^2
\cdot 9b^2 - 1}{9b^2} = \frac{324a^2b^2 - 1}{9b^2} \)

Знаменатель: \( \frac{12a - b}{6b} \)

Разделим числитель на знаменатель:

\( \frac{324a^2b^2 - 1}{9b^2} : \frac{12a - b}{6b} = \frac{324a^2b^2 - 1}{9b^2} \cdot \frac{6b}{12a - b} = \frac{324a^2b^2 - 1}{3b(12a - b)} \)

Заменим \( a = \frac{5}{6} \) и \( b = -\frac{1}{12} \):

\( 12a = 12 \cdot \frac{5}{6} = 10 \)

\( b = -\frac{1}{12} \)

\( 12a - b = 10 - (-\frac{1}{12}) = 10 + \frac{1}{12} = \frac{120+1}{12} = \frac{121}{12} \)

\( 3b = 3 \cdot (-\frac{1}{12}) = -\frac{1}{4} \)

\( a^2 = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36} \)

\( b^2 = (-\frac{1}{12})^2 = \frac{1}{144} \)

\( 324a^2b^2 = 324 \cdot \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{144} = 9 \cdot 25 \cdot \frac{1}{144} = \frac{225}{144} \)

\( 324a^2b^2 - 1 = \frac{225}{144} - 1 = \frac{225 - 144}{144} = \frac{81}{144} \)

\( \frac{324a^2b^2 - 1}{3b(12a - b)} = \frac{\frac{81}{144}}{(-\frac{1}{4}) \cdot \frac{121}{12}} = \frac{\frac{81}{144}}{-\frac{121}{48}} = \frac{81}{144} \cdot (-\frac{48}{121}) \)

\( = \frac{81}{3 \cdot 48} \cdot (-\frac{48}{121}) = \frac{81}{3} \cdot (-\frac{1}{121}) = 27 \cdot (-\frac{1}{121}) = -\frac{27}{121} \)

2. Возведём в квадрат и упростим:

   \( \frac{6a}{3b} = \frac{2a}{b} = \frac{2 \cdot \frac{5}{6}}{-\frac{1}{12}} = \frac{\frac{10}{6}}{-\frac{1}{12}} = \frac{5}{3} \cdot (-\frac{12}{1}) = -20 \)

   \( 36a^2 = 36 \cdot (\frac{5}{6})^2 = 36 \cdot \frac{25}{36} = 25 \)

   \( \frac{1}{9b^2} = \frac{1}{9 \cdot (-\frac{1}{12})^2} = \frac{1}{9 \cdot \frac{1}{144}} = \frac{1}{\frac{9}{144}} = \frac{144}{9} = 16 \)

   \( 36a^2 - \frac{1}{9b^2} = 25 - 16 = 9 \)

   \( \frac{6a}{3b} - \frac{1}{6} = -20 - \frac{1}{6} = -\frac{120}{6} - \frac{1}{6} = -\frac{121}{6} \)

   \( 9 : (-\frac{121}{6}) = 9 \cdot (-\frac{6}{121}) = -\frac{54}{121} \)

Ответ: -54/121