Найдите значение выражения: √40 · 60 · 75.

Решение:

Вычислим значение выражения под корнем:

1. Разложим числа на множители:
• \( 40 = 4 \times 10 = 2^2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5 \)
• \( 60 = 6 \times 10 = 2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5 \)
• \( 75 = 3 \times 25 = 3 \times 5^2 \)
2. Перемножим множители:
\( 40 \times 60 \times 75 = (2^3 \times 5) \times (2^2 \times 3 \times 5) \times (3 \times 5^2) \)
3. Сгруппируем одинаковые основания:
\( = 2^{(3+2)} \times 3^{(1+1)} \times 5^{(1+1+2)} = 2^5 \times 3^2 \times 5^4 \)
4. Вынесем множители из-под корня:
\( \sqrt{2^5 \times 3^2 \times 5^4} = \sqrt{2^4 \times 2 \times 3^2 \times 5^4} = 2^2 \times 3 \times 5^2 \times \sqrt{2} \)
5. Вычислим полученное значение:
\( = 4 \times 3 \times 25 \times \sqrt{2} = 12 \times 25 \times \sqrt{2} = 300 \sqrt{2} \)

Ответ: 300√2