Найдите значение выражения 41 : 2 15 - 15,4 + 1 9 Решите уравнение: a) 3,2x – 0,85 = 1,9x – 66,5; 6) 5 4 : 2 12 = a: 4,5. Постройте треугольник BCF, если B(-6; -2), C(4; -1), F(6; 6). пишите координаты точек пересечения большей стороны это треугольника с осями координат. В олимпиаде по математике участвовало 35 % всех шестикла 5 ников школы, по русскому языку — 12 всех учеников шести классов. Сколько шестиклассников участвовало в олимпиаде русскому языку, если участников математической олимпиа было 21?

Задание 1. Вычисление значения выражения

Выражение: \( 41 : 2\frac{11}{15} - 15,4 + 1\frac{2}{9} \)

Решение:

1. Переведём смешанные числа и десятичные дроби в обыкновенные дроби:


• \( 2\frac{11}{15} = \frac{2 × 15 + 11}{15} = \frac{30 + 11}{15} = \frac{41}{15} \)
• \( 15,4 = 15\frac{4}{10} = 15\frac{2}{5} = \frac{15 × 5 + 2}{5} = \frac{75 + 2}{5} = \frac{77}{5} \)
• \( 1\frac{2}{9} = \frac{1 × 9 + 2}{9} = \frac{9 + 2}{9} = \frac{11}{9} \)


2. Подставим полученные дроби в выражение:


• \( 41 : \frac{41}{15} - \frac{77}{5} + \frac{11}{9} \)


3. Выполним деление (деление на дробь равно умножению на обратную дробь):


• \( 41 × \frac{15}{41} = 15 \)


4. Теперь выражение выглядит так:


• \( 15 - \frac{77}{5} + \frac{11}{9} \)


5. Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 5 и 9 равен 45:


• \( 15 = \frac{15 × 45}{45} = \frac{675}{45} \)
• \( \frac{77}{5} = \frac{77 × 9}{45} = \frac{693}{45} \)
• \( \frac{11}{9} = \frac{11 × 5}{45} = \frac{55}{45} \)


6. Подставим дроби с общим знаменателем:


• \( \frac{675}{45} - \frac{693}{45} + \frac{55}{45} \)


7. Выполним вычитание и сложение:


• \( \frac{675 - 693 + 55}{45} = \frac{-18 + 55}{45} = \frac{37}{45} \)

Ответ: $$\frac{37}{45}$$

Задание 2. Решение уравнений

а) Решите уравнение: $$3,2x – 0,85 = 1,9x – 66,5;$$

Решение:

1. Перенесём члены с \( x \) в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя знаки:


• \( 3,2x - 1,9x = -66,5 + 0,85 \)


2. Выполним вычитание и сложение:


• \( 1,3x = -65,65 \)


3. Разделим обе части на \( 1,3 \):


• \( x = \frac{-65,65}{1,3} \)
• \( x = -50,5 \)

Ответ: $$x = -50,5$$

б) Решите уравнение: $$5\frac{1}{4} : 2\frac{11}{12} = a: 4,5.$$

Решение:

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби:


• \( 5\frac{1}{4} = \frac{5 × 4 + 1}{4} = \frac{21}{4} \)
• \( 2\frac{11}{12} = \frac{2 × 12 + 11}{12} = \frac{24 + 11}{12} = \frac{35}{12} \)
• \( 4,5 = 4\frac{5}{10} = 4\frac{1}{2} = \frac{4 × 2 + 1}{2} = \frac{9}{2} \)


2. Подставим дроби в уравнение:


• \( \frac{21}{4} : \frac{35}{12} = a : \frac{9}{2} \)


3. Выполним деление:


• \( \frac{21}{4} × \frac{12}{35} = a × \frac{2}{9} \)
• \( \frac{21 × 12}{4 × 35} = a × \frac{2}{9} \)
• Сократим дроби: \( \frac{(3 × 7) × (3 × 4)}{4 × (5 × 7)} = \frac{3 × 3}{5} = \frac{9}{5} \)


4. Уравнение стало:


• \( \frac{9}{5} = a × \frac{2}{9} \)


5. Чтобы найти \( a \), разделим \( \frac{9}{5} \) на \( \frac{2}{9} \) (или умножим на обратную дробь):


• \( a = \frac{9}{5} : \frac{2}{9} = \frac{9}{5} × \frac{9}{2} \)
• \( a = \frac{81}{10} \)
• \( a = 8,1 \)

Ответ: $$a = 8,1$$

Задание 3. Построение треугольника и нахождение точек пересечения

Дано:

• Вершины треугольника: \( B(-6; -2) \), \( C(4; -1) \), \( F(6; 6) \).

Решение:

1. Построим треугольник BCF: Используем систему координат. Отметим точки B, C, F и соединим их отрезками.


2. Найдём большую сторону треугольника: Для этого вычислим длины всех сторон по формуле расстояния между двумя точками \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).


• BC: \( d_{BC} = \sqrt{(4 - (-6))^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{(4+6)^2 + (-1+2)^2} = \sqrt{10^2 + 1^2} = \sqrt{100 + 1} = \sqrt{101} \)
• CF: \( d_{CF} = \sqrt{(6 - 4)^2 + (6 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + (6+1)^2} = \sqrt{4 + 7^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53} \)
• BF: \( d_{BF} = \sqrt{(6 - (-6))^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{(6+6)^2 + (6+2)^2} = \sqrt{12^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} \)


3. Сравним длины сторон: \( \sqrt{101} \approx 10.05 \), \( \sqrt{53} \approx 7.28 \), \( \sqrt{208} \approx 14.42 \).


4. Большая сторона — BF, её длина \( \sqrt{208} \).


5. Найдём точки пересечения стороны BF с осями координат. Сторона BF является отрезком прямой, проходящей через точки \( B(-6; -2) \) и \( F(6; 6) \).


• Уравнение прямой, проходящей через две точки: \( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \)
• Подставим координаты точек B и F:


• \( \frac{y - (-2)}{6 - (-2)} = \frac{x - (-6)}{6 - (-6)} \)
• \( \frac{y + 2}{8} = \frac{x + 6}{12} \)


• Упростим уравнение:


• \( 12(y + 2) = 8(x + 6) \)
• \( 12y + 24 = 8x + 48 \)
• \( 12y = 8x + 24 \)
• \( y = \frac{8}{12}x + \frac{24}{12} \)
• \( y = \frac{2}{3}x + 2 \)


• Пересечение с осью Ox (ось абсцисс): значение \( y = 0 \).


• \( 0 = \frac{2}{3}x + 2 \)
• \( -2 = \frac{2}{3}x \)
• \( x = -2 × \frac{3}{2} = -3 \)
• Точка пересечения с осью Ox: (-3; 0).


• Пересечение с осью Oy (ось ординат): значение \( x = 0 \).


• \( y = \frac{2}{3}(0) + 2 \)
• \( y = 2 \)
• Точка пересечения с осью Oy: (0; 2).

Ответ: Координаты точек пересечения большей стороны BF с осями координат: (-3; 0) и (0; 2).

Задание 4. Задача на проценты

Дано:

• В олимпиаде по математике участвовало 35% всех шестиклассников школы.
• В олимпиаде по русскому языку участвовало \( \frac{5}{12} \) всех шестиклассников.
• Участников математической олимпиады было 21 человек.

Найти: Сколько шестиклассников участвовало в олимпиаде по русскому языку?

Решение:

1. Сначала узнаем общее количество шестиклассников в школе. Известно, что 35% от всех шестиклассников — это 21 человек.


• Пусть \( N \) — общее количество шестиклассников.
• \( 0,35 × N = 21 \)
• \( N = \frac{21}{0,35} = \frac{2100}{35} = 60 \)
• Всего в школе 60 шестиклассников.


2. Теперь найдём, сколько шестиклассников участвовало в олимпиаде по русскому языку. Это \( \frac{5}{12} \) от общего числа шестиклассников.


• Количество участников олимпиады по русскому языку = \( \frac{5}{12} × 60 \)
• \( \frac{5}{12} × 60 = 5 × \frac{60}{12} = 5 × 5 = 25 \)

Ответ: 25 шестиклассников участвовало в олимпиаде по русскому языку.