Найдите значение выражения (49a² - 1)/(4b² - 49a²) : (7a - 1)/(2b + 7a) при a = 3/7 и b = 1/30.

Привет! Давай решим этот пример по шагам.

1. Упростим выражение:

   Сначала разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов \(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\).

   • Числитель: \(49a^2 - 1 = (7a)^2 - 1^2 = (7a - 1)(7a + 1)\)
   • Знаменатель: \(4b^2 - 49a^2 = (2b)^2 - (7a)^2 = (2b - 7a)(2b + 7a)\)

   Теперь подставим это обратно в дробь:

   \(\( \frac{(7a - 1)(7a + 1)}{(2b - 7a)(2b + 7a)} \) : \( \frac{7a - 1}{2b + 7a} \)\)

   Деление дробей — это умножение на перевёрнутую вторую дробь:

   \(\( \frac{(7a - 1)(7a + 1)}{(2b - 7a)(2b + 7a)} \) \(\times\) \( \frac{2b + 7a}{7a - 1} \)\)

   Теперь можем сократить одинаковые множители:

   \(\( \frac{\cancel{(7a - 1)}(7a + 1)}{(2b - 7a)}\cancel{(2b + 7a)}} \) \(\times\) \( \frac{\cancel{2b + 7a}}{\cancel{7a - 1}} \)\)

   Остаётся:

   \( \frac{7a + 1}{2b - 7a} \)

2. Подставим значения a и b:

   Дано: \(a = \frac{3}{7}\), \(b = \frac{1}{30}\).

   Подставим в упрощённое выражение:

   \( \frac{7(\frac{3}{7}) + 1}{2(\frac{1}{30}) - 7(\frac{3}{7})} \)

   Вычислим числитель:

   \( 7 \times \frac{3}{7} + 1 = 3 + 1 = 4 \)

   Вычислим знаменатель:

   \( 2 \times \frac{1}{30} - 7 \times \frac{3}{7} = \frac{2}{30} - 3 = \frac{1}{15} - 3 \)

   Приведём к общему знаменателю:

   \( \frac{1}{15} - \frac{3 \times 15}{15} = \frac{1 - 45}{15} = \frac{-44}{15} \)

3. Вычислим окончательно:

   Теперь разделим числитель на знаменатель:

   \( \frac{4}{\frac{-44}{15}} = 4 \times \frac{15}{-44} = \frac{4 \times 15}{-44} = \frac{60}{-44} \)

   Сократим дробь на 4:

   \( \frac{15}{-11} = -\frac{15}{11} \)

Ответ: \(-\frac{15}{11}\)