Найдите значение выражения: (5^12)^3 : 5^37

Решение:

Для нахождения значения выражения воспользуемся свойствами степеней.

1. Возведём степень в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).
2. Применим это правило к числителю: \( (5^{12})^3 = 5^{12 \cdot 3} = 5^{36} \).
3. Теперь выражение выглядит так: \( 5^{36} : 5^{37} \).
4. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( a^m : a^n = a^{m-n} \).
5. Применим это правило: \( 5^{36} : 5^{37} = 5^{36 - 37} = 5^{-1} \).
6. Отрицательная степень означает обратную дробь: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).
7. Таким образом, \( 5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5} \).

Ответ: \( \frac{1}{5} \).