Найдите значение выражения 63 · log_a (√a / ³√b), если известно, что log_b a = 8.

Решение:

Дано: \( \log_b a = 8 \). Найти: \( 63 \cdot \log_a \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[3]{b}} \).

1. Для начала, преобразуем логарифм в основании \( a \):
   \( \log_a \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[3]{b}} = \log_a a^{1/2} - \log_a b^{1/3} \)
2. Используем свойства логарифмов: \( \log_a a^{1/2} = \frac{1}{2} \log_a a = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \)
3. Теперь преобразуем \( \log_a b^{1/3} \):
   \( \log_a b^{1/3} = \frac{1}{3} \log_a b \)
4. Нам известно, что \( \log_b a = 8 \). Используя свойство смены основания логарифма, получим:
   \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} = \frac{1}{8} \)
5. Подставляем это значение обратно:
   \( \frac{1}{3} \log_a b = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{24} \)
6. Теперь вычислим весь логарифм:
   \( \log_a \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[3]{b}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{24} = \frac{12}{24} - \frac{1}{24} = \frac{11}{24} \)
7. Наконец, умножим результат на 63:
   \( 63 \cdot \frac{11}{24} \)
8. Сократим дробь:
   \( \frac{63 \cdot 11}{24} = \frac{(3 \cdot 21) \cdot 11}{3 \cdot 8} = \frac{21 \cdot 11}{8} = \frac{231}{8} \)

Ответ: \( \frac{231}{8} \).