Найдите значение выражения $$7\frac{8}{21} \cdot \frac{7}{65} - \frac{5}{42}$$. Представьте полученный результат в виде несократимой обыкновенной дроби. В ответ запишите числитель этой дроби.

Решение:

1. Переведём смешанное число в неправильную дробь:

\( 7\frac{8}{21} = \frac{7 \cdot 21 + 8}{21} = \frac{147 + 8}{21} = \frac{155}{21} \)

2. Выполним умножение дробей:

\( \frac{155}{21} \cdot \frac{7}{65} = \frac{155 \cdot 7}{21 \cdot 65} \)

3. Сократим дробь. Заметим, что \( 155 = 5 \cdot 31 \), \( 21 = 3 \cdot 7 \), \( 65 = 5 \cdot 13 \):

\( \frac{5 \cdot 31 \cdot 7}{3 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 13} = \frac{31}{3 \cdot 13} = \frac{31}{39} \)

4. Выполним вычитание дробей. Приведём к общему знаменателю \( 39 \cdot 42 = 1638 \) или \( LCM(39, 42) = 546 \). Возьмём \( LCM \).

\( 39 = 3 \cdot 13 \)

\( 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \)

\( LCM(39, 42) = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 = 546 \)

\( \frac{31}{39} - \frac{5}{42} = \frac{31 \cdot 14}{546} - \frac{5 \cdot 13}{546} = \frac{434}{546} - \frac{65}{546} = \frac{434 - 65}{546} = \frac{369}{546} \)

5. Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 3:

\( 369 = 3 \cdot 123 = 3 \cdot 3 \cdot 41 \)

\( 546 = 2 \cdot 273 = 2 \cdot 3 \cdot 91 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 \)

\( \frac{369}{546} = \frac{3 \cdot 123}{3 \cdot 182} = \frac{123}{182} \)

6. Проверим, можно ли ещё сократить. \( 123 = 3 \cdot 41 \), \( 182 = 2 \cdot 91 = 2 \cdot 7 \cdot 13 \). Дробь \( \frac{123}{182} \) несократимая.

Ответ: 123