Найдите значение выражения 8sin α, если cos α = √3/4 и 3π/2 < α < 2π.

Решение:

Нам дано, что \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{4} \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \). Это означает, что угол \( \alpha \) находится в четвёртом квадранте, где косинус положителен, а синус отрицателен.

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
2. Подставим известное значение \( \cos \alpha \): \[ \sin^2 \alpha + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{3}{16} = 1 \]
3. Выразим \( \sin^2 \alpha \): \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{3}{16} = \frac{16 - 3}{16} = \frac{13}{16} \]
4. Найдём \( \sin \alpha \), учитывая, что \( \alpha \) в четвёртом квадранте (где синус отрицателен): \[ \sin \alpha = -\sqrt{\frac{13}{16}} = -\frac{\sqrt{13}}{4} \]
5. Теперь найдём значение выражения \( 8\sin \alpha \): \[ 8\sin \alpha = 8 \times \left(-\frac{\sqrt{13}}{4}\right) = -2\sqrt{13} \]

Ответ: -2√13