8. Найдите значение выражения a¹⁷⋅(b²)³ при a=3 и b=√2.

Дано выражение:

\[\frac{a^{17} \cdot (b^2)^3}{(a \cdot b)^{16}}\]

Упростим выражение, используя свойства степеней:

\[(b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6\]

\[(a \cdot b)^{16} = a^{16} \cdot b^{16}\]

Теперь перепишем выражение:

\[\frac{a^{17} \cdot b^6}{a^{16} \cdot b^{16}}\]

Разделим степени с одинаковым основанием:

\[\frac{a^{17}}{a^{16}} = a^{17-16} = a\]

\[\frac{b^6}{b^{16}} = b^{6-16} = b^{-10} = \frac{1}{b^{10}}\]

Тогда выражение упрощается до:

\[\frac{a}{b^{10}}\]

Теперь подставим значения a = 3 и b = \(\sqrt{2}\):

\[\frac{3}{(\sqrt{2})^{10}}\]

Упростим знаменатель:

\[(\sqrt{2})^{10} = (2^{1/2})^{10} = 2^{10/2} = 2^5 = 32\]

Таким образом, получаем:

\[\frac{3}{32}\]

Ответ: \(\frac{3}{32}\)