Найдите значение выражения: а) $9\log_4\sqrt[9]{4}$; б) $(5^{\log_2 7})^{\log_5 2}$; в) $\frac{\log_5 12}{\log_{25}12}$; г) $\log_{\sqrt[7]{11}}11$; д) $\log_{25}625+\log_{0,04}0,2$; е) $\log_7 9\cdot\log_9 49$; ж) $\frac{7^{\log_5 75}}{7^{\log_5 3}}$; з) $16^{\log_4 7}$; и) $\frac{\log_6 729}{\log_6 9}$; к) $125^{\log_5 6}$; л) $\log_8 112-\log_8 1,75$; м) $(1-\log_2 10)(1-\log_5 10)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Найдите значение выражения: а) $9\log_4\sqrt[9]{4}$; б) $(5^{\log_2 7})^{\log_5 2}$; в) \(\frac{\log_5…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $\sqrt[9]{4}=4^{1/9}$, получаем $9\log_4 4^{1/9}=9\cdot\frac19=1$.
Используем $a^{\log_a b}=b$: $(5^{\log_2 7})^{\log_5 2}=5^{\log_2 7\cdot\log_5 2}=5^{\log_5 7}=7$.
Поскольку $\log_{25}12=\frac12\log_5 12$, отношение равно $2$.
$\sqrt[7]{11}=11^{1/7}$, поэтому $\log_{11^{1/7}}11=7$.
$\log_{25}625=2$, а $0,04=(1/5)^2$ и $0,2=1/5$, значит $\log_{0,04}0,2=\frac12$. Сумма: $2+\frac12=\frac52$.
По свойству $\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c$: $\log_7 9\cdot\log_9 49=\log_7 49=2$.
$\frac{7^{\log_5 75}}{7^{\log_5 3}}=7^{\log_5 75-\log_5 3}=7^{\log_5 25}=7^2=49$.
Так как $16=4^2$, то $16^{\log_4 7}=(4^{\log_4 7})^2=7^2=49$.
По формуле перехода к новому основанию: $\frac{\log_6 729}{\log_6 9}=\log_9 729=3$.
$125=5^3$, следовательно, $125^{\log_5 6}=(5^{\log_5 6})^3=6^3=216$.
По свойству разности логарифмов: $\log_8 112-\log_8 1,75=\log_8(112/1,75)=\log_8 64=2$.
Так как $\log_2 10=1+\log_2 5$, первый множитель равен $-\log_2 5$. Кроме того, $\log_5 10=1+\log_5 2$, поэтому второй множитель равен $-\log_5 2$. Их произведение: $\log_2 5\cdot\log_5 2=1$.

Ответ: а) 1; б) 7; в) 2; г) 7; д) $\frac52$; е) 2; ж) 49; з) 49; и) 3; к) 216; л) 2; м) 1.