Найдите значение выражения: a) \( \frac{5^{15} \cdot 5^{12}}{125 \cdot (5^8)^3} \)

Решение:

Чтобы найти значение выражения, воспользуемся свойствами степеней:

1. В числителе: При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. \( 5^{15} \cdot 5^{12} = 5^{15+12} = 5^{27} \)
2. В знаменателе:
• Представим число 125 как степень числа 5: \( 125 = 5^3 \).
• При возведении степени в степень показатели перемножаются: \( (5^8)^3 = 5^{8 \cdot 3} = 5^{24} \).
• Теперь умножим степени в знаменателе: \( 125 \cdot (5^8)^3 = 5^3 \cdot 5^{24} = 5^{3+24} = 5^{27} \).
3. Сокращаем дробь: Теперь выражение выглядит так: \( \frac{5^{27}}{5^{27}} \).
4. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( \frac{5^{27}}{5^{27}} = 5^{27-27} = 5^0 \).
5. Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. \( 5^0 = 1 \).

Ответ: 1.