Найдите значение выражения, если m — целое число: $$ \frac{65^m}{5^{m-4} \cdot 13^m} = ? $$

Пошаговое решение:

1. Разложим число 65 на простые множители: $$ 65 = 5 \cdot 13 $$
2. Подставим разложение в числитель: $$ \frac{(5 \cdot 13)^m}{5^{m-4} \cdot 13^m} $$
3. Применим свойство степени произведения $$ (a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m $$ к числителю: $$ \frac{5^m \cdot 13^m}{5^{m-4} \cdot 13^m} $$
4. Сократим одинаковые множители $$ 13^m $$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{5^m}{5^{m-4}} $$
5. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $$ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} $$
6. Вычислим показатель степени: $$ m - (m-4) = m - m + 4 = 4 $$
7. Таким образом, получаем: $$ 5^4 $$
8. Возведем 5 в четвертую степень: $$ 5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 = 625 $$

Ответ: 625