Найдите значение выражения, если n — целое число: 24^n / (8^(n-3) * 3^n)

Решение:

Чтобы найти значение выражения, упростим его, используя свойства степеней:

1. Представим 24 как произведение 8 и 3: \( 24^n = (8 \cdot 3)^n = 8^n \cdot 3^n \)
2. Подставим это в исходное выражение: \[ \frac{24^n}{8^{n-3} \cdot 3^n} = \frac{8^n \cdot 3^n}{8^{n-3} \cdot 3^n} \]
3. Сократим \( 3^n \) в числителе и знаменателе: \[ \frac{8^n}{8^{n-3}} \]
4. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} \). В нашем случае \( a=8, m=n, k=n-3 \): \[ 8^{n - (n-3)} = 8^{n - n + 3} = 8^3 \]
5. Вычислим \( 8^3 \): \( 8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 64 \cdot 8 = 512 \)

Таким образом, значение выражения равно 512 при любом целом числе n.

Ответ: 512