Найдите значение выражения, если n – целое число: 72^n / (8^(n-2) * 9^n)

Решение:

Для упрощения выражения преобразуем числа 72 и 8 в виде произведения простых множителей:

\( 72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 \)

\( 8 = 2^3 \)

Подставим эти значения в исходное выражение:

\[ \frac{72^n}{8^{n-2} \cdot 9^n} = \frac{(2^3 \cdot 3^2)^n}{(2^3)^{n-2} \cdot (3^2)^n} \]

Используем свойства степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( (ab)^n = a^n b^n \):

\[ \frac{2^{3n} \cdot 3^{2n}}{2^{3(n-2)} \cdot 3^{2n}} = \frac{2^{3n} \cdot 3^{2n}}{2^{3n-6} \cdot 3^{2n}} \]

Теперь используем свойство деления степеней с одинаковым основанием \( \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} \):

\[ 2^{3n - (3n-6)} \cdot 3^{2n - 2n} = 2^{3n - 3n + 6} \cdot 3^0 \]

Упростим степени:

\[ 2^6 \cdot 3^0 = 64 \cdot 1 = 64 \]

Поскольку n — целое число, выражение всегда равно 64.

Ответ: 64